Question

已知动点P到直线x=-1的距离与到定点C(

1

2

，  0)的距离的差为

1

2

．动点P的轨迹设为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设过点A（-4，0）的直线与曲线C交于E、F两点，定点A'（4，0），求直线A'E、A'F的斜率之和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知，动点P到定点C(

1

2

，  0)的距离等于到定直线x=-

1

2

的距离，所以动点P的轨迹为抛物线，由此能求出点P的轨迹方程．
（Ⅱ）设过点A的直线方程为y=k（x+4）（k≠0）．联立方程组

y=k(x+4) y2=2x

，得

k

2

y2-y+4k=0，由此能够求出直线A′E、A′F的斜率之和．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，动点P到定点C(

1

2

，  0)的距离等于到定直线x=-

1

2

的距离，
所以动点P的轨迹为抛物线，
且

p

2

=

1

2

，
P=1．
所以点P的轨迹方程为y²=2x．…（6分）
（Ⅱ）设过点A的直线方程为y=k（x+4）（k≠0）．
联立方程组

y=k(x+4) y2=2x

，
消去x，得

k

2

y2-y+4k=0．…（8分）
设E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），
则y₁•y₂=8，且y₁²=2x₁，y₂²=2x₂．
∵kA′E=

y1

x1-4

，kA′F=

y2

x2-4

，
∴kA′E+kA′F=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=

y1x2-4y1+y2x1-4y2

(x1-4)(x2-4)

=

y1 y 2 2 2 -4y1+y2 y 2 1 2 -4y2

(x1-4)(x2-4)

=

(y1+y2)( y1 y   2 2 -4)

(x1-4)(x2-4)

．
由y₁•y₂=8，得k_A'E+k_A'F=0．…（14分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．