Question

【题目】设命题p：不等式x﹣x2≤a对x≥1恒成立，命题q：关于x的方程x2﹣ax+1=0在R上有解．
（1）若p为假命题，求实数a的取值范围；
（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵￢p为假命题，

∴命题p为真命题；

∵x﹣x2在x∈[1，+∞）单调递减，

∴x﹣x2的最大值为0，

故a≥0

（2）解：命题q：△=a2﹣4≥0，

∴a≥2或a≤﹣2，

“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，等价于p真q假，或者p假q真，

则 或 ，

∴实数a的取值范围为a≤﹣2或0≤a＜2

【解析】（1）若p为假命题，则p为真命题，进而可得实数a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则p真q假，或者p假q真，进而可得实数a的取值范围；
【考点精析】利用命题的真假判断与应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．