Question

已知函数f（x）=ax+

b

x

（a，b∈R），有下列五个命题：
①不论a，b为什么值，函数y=f（x）的图象关于原点对称；
②若a=b≠0，函数f（x）的极小值是2a，极大值是-2a；
③若ab≠0，则函数y=f（x）的图象上任意一点的切线都不可能经过原点；
④当a＞0，b＞0时，对函数y=f（x）图象上任意一点A，都存在唯一的点B，使得tan∠AOB=

1

a

（其中点O是坐标原点）；
⑤当ab≠0时，函数y=f（x）图象上任意一点的切线与直线y=ax及y轴所围成的三角形的面积是定值．
其中正确的命题是

 

（填上你认为正确的所有命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：导数的概念及应用,简易逻辑

分析：对于①可以判断该函数是奇函数，由此说明；
对于②当a=b时，y=a(x+

1

x

)，当a＜0时，不满足题意；
对于③可先用切点把切线方程表示出来，然后将（0，0）代入，只要是无解即可说明；
对于④不妨令y=x+

1

x

，此时a=1，然后由x+

1

x

-x=

1

x

，当x→+∞时，

1

x

→0，可知y=x是函数y=x+

1

x

的渐近线；由此进一步可以判断该命题为假；
对于⑤先表示出任意一点处切线的方程，然后求出该切线与y=ax，y轴的交点，则三角形的三个交点可以求出，面积可求．

解答： 解：对于①：定义域为{x|x∈R，x≠0}，关于原点对称，又f（-x）=-f（x）恒成立，所以该函数是奇函数，故①为真命题；
对于②：当a＜0时，y=ax+

a

x

，y′=a-

a

x2

=

a(x+1)(x-1)

x2

，当x＜-1或x＞1时，y′＜0；当-1＜x＜1时，y′＞0，所以当x=1时，y_极大=2a；x=-1时，y_极小=-2a，故②为假命题．
对于③：假设存在过原点的切线，设切点为（m，am+

b

m

），则切线斜率为a+

b

m2

，又y′=a-

b

x2

，所以a+

b

m2

=a-

b

m2

，即b=0，与已知矛盾，故不存在这样的切线．故③为真命题．
对于④：令f（x）=x+

1

x

，则再令g（x）=x，则f（x）-g（x）=

1

x

，当x→+∞时，

1

x

→0，所以g（x）=x是函数y=x+

1

x

的渐近线，做出函数f（x）的图象如下：

此时可以看出，在函数f（x）图象上任取两点A，B，∠AOB＜

π

4

或∠AOB＞

3

4

π，所以tan∠AOB＞1或-1＜tan∠AOB＜0，即此时不存在这样的两点A，B使得tan∠AOB=

1

a

=1，故④为假命题．
对于⑤：由题意设切点为(x0，ax0+

b

x0

)，y′=a-

b

x2

，所以切线方程为y-（ax₀+

b

x0

）=（a-

b

x02

）（x-x₀）①，直线y=ax②，
由①②联立得交点为（2x₀，2x₀），对于①令x=0得切线与y轴交点为（0，

2b

x0

），原点为（0，0），
所以围成的三角形面积为

1

2

•

2b

x0

•2x0=2b．是定值，故⑤是真命题．
故答案为①③⑤．

点评：本题以命题为载体考查了导数在研究函数的极值、切线中的应用，有一定难度．