Question

17．在△ABC中，$\frac{{a}^{3}{+b}^{3}{-c}^{3}}{a+b-c}$=c²，sinA•sinB=$\frac{3}{4}$，则△ABC一定是（　　）

• A． 等边三角形
• B． 等腰三角形
• C． 直角三角形
• D． 等腰三角形或直角三角形

Answer 1

分析 先把已知等式整理可求得a，b和c的关系，利用余弦定理求得C，通过两角和公式求得cosAcosB的值，最后利用两角和与差的余弦函数求得cos（A-B）=1，判断出A=B，最终判断出三角形的形状．

解答 解：∵$\frac{{a}^{3}{+b}^{3}{-c}^{3}}{a+b-c}$=c²，
∴a³+b³-c³=ac²+bc²-c³，
（a+b）（a²+b²-ab）=（a+b）c²，
∴a²+b²-ab=c²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$，
∵sinAsinB=$\frac{3}{4}$，cos（A+B）=cos（180°-C）=cos120°=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB，
∴cosAcosB=$\frac{1}{4}$
∴cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB=1．
∵-π＜A-B＜π，
∴A-B=0．
∴A=B=60°
∴△ABC是等边三角形．
故选：A．

点评 本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．解题的关键是找到角与角之间的关系，属于中档题．