Question

2．设函数f（x）=|2x-1|-|x+2|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若?x₀∈R，使得f（x₀）+2m²＜4m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用零点分区间讨论去掉绝对值符号，化为分段函数，在每一个前提下去解不等式，每一步的解都要和前提条件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后结果找并集得出不等式的解；
（2）根据第一步所化出的分段函数求出函数f（x）的最小值，若?x₀∈R，使得f（x₀）+2m²＜4m成立，只需4m-2m²＞f_min（x），解出实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）①当x＜-2时，f（x）=1-2x+x+2=-x+3，令-x+3＞0，解得x＜3，又∵x＜-2，∴x＜-2；
②当-2≤x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）=1-2x-x-2=-3x-1，令-3x-1＞0，解得x＜-$\frac{1}{3}$，又∵-2≤x≤$\frac{1}{2}$，∴-2≤x＜-$\frac{1}{3}$；
③当x$＞\frac{1}{2}$时，f（x）=2x-1-x-2=x-3，令x-3＞0，解得x＞3，又∵x$＞\frac{1}{2}$，∴x＞3．
综上，不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（3，+∞）．
（Ⅱ）由（I）得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+3，x＜-2}\\{-3x-1，-2≤x≤\frac{1}{2}}\\{x-3，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴f_min（x）=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{2}$．
∵?x₀∈R，使得f（x₀）+2m²＜4m，∴4m-2m²＞-$\frac{5}{2}$，
整理得：4m²-8m-5＜0，解得：-$\frac{1}{2}$＜m＜$\frac{5}{2}$，
∴m的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法及分段函数的应用，分情况讨论去绝对值符号是关键．