Question

定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求函数f（x）在（-1，1）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（-1，0）上的单调性并证明．

Answer 1

分析：（1）定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）=0，及x∈（-1，0）时f（x）的解析式，x=-1和1时，同时结合奇偶性和单调性求解．
（2）先说明f（x）在（0，1）上单调递减．再利用定义证明单调性．

解答：解：（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

由f（0）=f（-0）=-f（0），
且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．
∴在区间[-1，1]上，有f（x）=

2x 4x+1    x∈(0，1) - 2x 4x+1     x∈(-1，0) 0               x∈{-1，0，1}

（2）f（x）在（0，1）上单调递减．
证明当x∈（-1，0）时，f（x）=

2x

4x+1

，设-1＜x₁＜x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

(2x2-2x1)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

∵-1＜x₁＜x₂＜0，，∴2x2-2x1＞0，2x2+x1-1＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），故f（x）在（0，1）上单调递减．

点评：本题考查奇偶性、函数单调性的判断与证明的综合应用．本题也可采用导数法来证明函数单调性，其对应关系是若导数在某个区间上函数值恒大于等于0，则这个区间是这个函数的增区间，若数在某个区间上函数值恒小于等于0，则这个区间是这个函数的减区间．