Question

（2013•山东）抛物线C₁：y=

1

2p

x2(p＞0)的焦点与双曲线C₂：

x2

3

-y2=1的右焦点的连线交C₁于第一象限的点M．若C₁在点M处的切线平行于C₂的一条渐近线，则p=（　　）

• A．

  3

  3

• B．

  3

  8

• C．

  2 3

  3

• D．

  4 3

  3

Answer 1

分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=

1

2p

x2(p＞0)在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．

解答：解：由y=

1

2p

x2(p＞0)，得x²=2py（p＞0），
所以抛物线的焦点坐标为F（0，

p

2

）．
由

x2

3

-y2=1，得a=

3

，b=1，c=

a2+b2

=

3+1

=2．
所以双曲线的右焦点为（2，0）．
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为

y-0

p 2 -0

=

x-2

0-2

，
即

p

2

x+2y-p=0①．
设该直线交抛物线于M（x0，

x02

2p

），则C₁在点M处的切线的斜率为

x0

p

．
由题意可知

x0

p

=

b

a

=

3

3

，得x0=

3

3

p，代入M点得M（

3 p

3

，

p

6

）
把M点代入①得：

3 p2

3

+

2

3

p-2p=0．
解得p=

4 3

3

．
故选D．

点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．