Question

已知抛物线y²=2px（p＞0），点P（m，n）为抛物线上任意一点，其中m≥0．
（1）判断抛物线与正比例函数的交点个数；
（2）定义：凡是与圆锥曲线有关的圆都称为该圆锥曲线的伴随圆，如抛物线的内切圆就是最常见的一种伴随圆．此外还有以焦点弦为直径的圆，以及以焦点弦为弦且过顶点的圆等．同类的伴随圆构成一个圆系，圆系中有无数多个圆．求证：抛物线内切圆系方程为：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m为参数且m≥0）；
（3）请研究抛物线以焦点弦为直径的伴随圆，推导出其圆系方程，并写出一个关于它的正确命题．

Answer 1

解：（1）设正比例方程为y=kx（k≠0），联立
得到，
因此抛物线与正比例函数有两个交点．（2分）
（2），
所以过点P的切线斜率为，
所以过改点的法线斜率为，
从而相应的法线方程为，
因为抛物线关于x轴对称，
所以有其内切圆的圆心必在x轴上，令y=0得x=p+m，设内切圆的半径为R，
则R²=（p+m-m）²+（0-n）²=p²+n²=p²+2pm
从而抛物线内切圆系方程为：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m为参数且m≥0）（6分）
（3）探究结论：抛物线以其焦点弦为直径的伴随圆系的方程为（k为参数且k≥0）（8分）
证明：设焦点弦AB所在直线方程为，与抛物线方成联立便可以得到，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则；；
设伴随圆圆心为（m，n），则，
设伴随圆半径为R
所以伴随圆系方程为（11分）
命题：抛物线y²=2px（p＞0）以焦点弦为直径的伴随圆的圆心轨迹为抛物线．（13分）
分析：（1）设正比例方程为y=kx（k≠0），联立，由此可知抛物线与正比例函数有两个交点．
（2），所以过点P的切线斜率为，所以过改点的法线斜率为，从而相应的法线方程为，由此可知抛物线内切圆系方程为：（x-p-m）²+y²=p²+2pm（其中m为参数且m≥0）．
（3）探究结论：抛物线以其焦点弦为直径的伴随圆系的方程为（k为参数且k≥0）
然后再结合题设条件进行证明．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．