Question

设函数f(x)对任意x，y∈R，都f(x+y)=f(x)+f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)=-2，
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)试问在-3≤x≤3时时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由．

Answer 1

(1)证明：令x=y=0，则有，
令y=-x，则有，
即，
∴f（x）是奇函数．
(2)任取，则，
且，
∴，
∴y= f（x）在R上为减函数，
因为f(3)为函数的最小值，f(-3)为函数的最大值，
f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6，f(-3)=-f(3)=6，
∴函数的最大值为6，最小值为-6．