Question

15．设正数列{a_n}满足a₁=a₂=1，$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n-2}}$-$\sqrt{{a}_{n-1}{a}_{n-2}}$=2a_n-1（n≥3），求通项公式a_n．

Answer 1

分析 由已知可得$\sqrt{\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}}$-1=2$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$，构造等比数列{$\sqrt{\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}$+1}并求出其通项公式，进而利用累乘法，可得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：∵$\sqrt{{a}_{n}{a}_{n-2}}$-$\sqrt{{a}_{n-1}{a}_{n-2}}$=2a_n-1（n≥3），
∴$\sqrt{\frac{{a}_{n}•{a}_{n-2}}{{a}_{n-1}•{a}_{n-2}}}$-$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}•{a}_{n-2}}{{a}_{n-1}•{a}_{n-2}}}$=2$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}•{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}•{a}_{n-2}}}$，
即$\sqrt{\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}}$-1=2$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$，
即$\sqrt{\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}}$+1=2（$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$+1），
又∵a₁=a₂=1，
故$\sqrt{\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}}$+1=2，
即数列{$\sqrt{\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}$+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，
故$\sqrt{\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}$+1=2ⁿ，
故$\sqrt{\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}}$=2ⁿ-1，
∴$\sqrt{\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}}$=2^n-1-1，
$\sqrt{\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}}$=2^n-2-1，
…
$\sqrt{\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}}$=2²-1，
$\sqrt{\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}}$=2-1，
累乘得：$\sqrt{{a}_{n}}$=（2^n-1-1）•（2^n-2-1）•…•（2²-1）•（2-1）．
故a_n=[（2^n-1-1）•（2^n-2-1）•…•（2²-1）•（2-1）]²．

点评 本题考查的知识点是数列的递推公式，等比数列，数列通项公式的求法，难度较大．