Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是常数），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列，则{a_n}的通项公式为（　　）

• A、n²+2n-1
• B、n²-2n+1
• C、n²+n
• D、n²-n+2

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意知（2+c）²=2（2+3c），解得c=0或c=2．再由当c=0时，a₁=a₂=a₃，不符合题意舍去，知c=2．由a_n-a_n-1=（n-1）c，求出通项公式．

解答： 解：a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，因为a₁，a₂，a₃成等比数列，
所以（2+c）²=2（2+3c），解得c=0或c=2．
当c=0时，a₁=a₂=a₃，不符合题意舍去，故c=2．
当n≥2时，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，a_n-a_n-1=（n-1）c，
所以a_n-a₁=[1+2+3+…+（n-1）]c=

n(n-1)

2

•c．
又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，…）．
当n=1时，上式也成立，
所以a_n=n²-n+2（n=1，2，…）．
故选D．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意计算能力的培养．