Question

（本小题满分12分）
已知如图(1)，正三角形ABC的边长为2a,CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边上的点，且满足，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如图（2）.

(Ⅰ) 求二面角B-AC-D的大小；
(Ⅱ) 若异面直线AB与DE所成角的余弦值为，求k的值.

Answer 1

(1) . (2) k＝

试题分析：解：(Ⅰ) 过D点作DG⊥AC于G，连结BG，

∵ AD⊥CD, BD⊥CD,
∴ ∠ADB是二面角A-CD-B的平面角.
∴ ∠ADB=, 即BD⊥AD.
∴ BD⊥平面ADC. ∴ BD⊥AC.
∴ AC⊥平面BGD. ∴ BG⊥AC .
∴ ∠BGD是二面角B-AC-D的平面角.
在ADC中，AD=a, DC=, AC=2a,
∴ .
在Rt△BDG中，.
∴ .
即二面角B-AC-D的大小为.   
(Ⅱ) ∵ AB∥EF, ∴ ∠DEF(或其补角)是异面直线AB与DE所成的角.
∵ ，∴ .
又DC=, ，
∴

 
∴ .
∴ . 解得 k＝.
点评：解决该试题的关键是能利用定义求作角，结合三角形来求解得到结论，属于基础题。