Question

（本小题满分13分）设函数f（x）=x³+ax²－a²x+m（a>0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的a∈[3,6]，不等式f（x）≤1在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+2ax－a²=3（x－）（x+a）
又a>0，∴当x<－a或x>时f′（x）>0；
当－a<x<时，f′（x）<0．
∴函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－a），（，+∞），
单调递减区间为（－a，）．（4分）
（Ⅱ）由题设可知，方程f′（x）=3x²+2ax－a²=0在[－1，1]上没有实根
∴，解得a>3．                                          （8分）
（Ⅲ）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－a≤－3
又x∈[－2,2]
∴f（x）_max=max{f（－2）,f（2）}
而f（2）－f（－2）=16－4a²<0
∴f（x）_max=f（－2）=－8+4a+2a²+m                                      （10分）又∵f（x）≤1在[－2，2]上恒成立
∴f（x）_max≤1即－8+4a+2a²+m≤1
即m≤9－4a－2a²,在a∈[3，6]上恒成立
∵9－4a－2a²的最小值为－87
∴m≤－87．                      （13分）

解析