Question

如图所示，PQ为平面α、β的交线，已知二面角α-PQ-β为直二面角，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA=CB=kAB（k∈R*），∠BAP=45°．
（1）证明：BC⊥PQ；
（2）设点C在平面α内的射影为点O，当k取何值时，O在平面ABC内的射影G恰好为△ABC的重心？
（3）当k=

6

3

时，求二面角B-AC-P的大小．

Answer 1

分析：（1）在平面β内过点C作CE⊥PQ于点E，由题知点E与点A不重合，连接EB．看出点C在平面α内的射影为点E，根据线与线垂直得到线与面垂直，得到结论．
（2）由（1）知，O点即为E点，设点F是O在平面ABC内的射影，连  接BF并延长交AC于点D，由题意可知，若F是△ABC的重心，则点D为AC的中点，根据三垂线定理得到线与线垂直，得到结论．
（3）以O为原点，以OB、OA、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，设出线段的长度，表示出要用的点的坐标，做出两个平面的法向量，根据向量之间的角度来求面与面的夹角．

解答：解：（1）在平面β内过点C作CE⊥PQ于点E，由题知点E与点A不重合，连接EB．
∵α⊥β，α∩β=PQ，∴CE⊥α，即点C在平面α内的射影为点E，
又∵CA=CB，∴EA=EB．∵∠BAE=45°，∴∠ABE=45°，∠AEB=90°，故BE⊥PQ，又∵CE⊥PQ，∴PQ⊥平面EBC，∵BC?平面EBC，故BC⊥PQ．
（2）由（1）知，O点即为E点，设点F是O在平面ABC内的射影，连  接BF并延长交AC于点D，由题意可知，若F是△ABC的重心，则点D为AC的中点．
∵BO⊥PQ，平面角α-PQ-β为直二面角，
∴BO⊥β，∴OB⊥AC，由三垂线定理可知AC⊥BF，即AC⊥BD，∴AB=BC=AC，即k=1；反之，当k=1时，三棱锥O-ABC为正三棱锥，此时，点O在平面ABC内的射影恰好为△ABC的重心．
（3）由（2）知，可以O为原点，以OB、OA、OC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示）
不妨设AB=

6

，在Rt△OAB中，∠ABO=∠BAO=45°，所以BO=AO=

3

，由CA=CB=kAB且k=

6

3

得，AC=2，∴OC=1，则O(0，0，0)，B(

3

，0，0)，A(0，

3

，0)，C(0，0，1)．
所以

AB

=(

3

，-

3

，0)，

AC

=(0，-

3

，1)
设n₁（x，y，z）是平面ABC的一个法向量，由

n1• AB =0 n1• AC =0

得

3 x- 3 y=0 - 3 y+z=0

取x=1，得n1=(1，1，

3

)
易知n₂=（1，0，0）是平面β的一个法向量，
设二面角B-AC-P的平面角为θ，所以cosθ=

n1•n2

|n1|•|n2|

=

1

5 ×1

=

5

5

，由图可知，
二面角B-AC-P的大小为arccos

5

5

．

点评：本题看出线面之间的关系和用向量来求两个平面的夹角的问题，把向量利用到立体几何中，降低了题目的难度，本题是近几年高考必考的题型