【题目】设f(x)是定义在R上的函数,对任意实数m,n,都有f(m)f(n)=f(m+n),且当x<0时,0<f(x)<1.
(1)证明:①f(0)=1;②当x>0时,f(x)>1;③f(x)是R上的增函数;
(2)设a∈R,试解关于x的不等式f(x2﹣3ax+1)f(﹣3x+6a+1)≤1.
【答案】
(1)证明:①在f(m)f(n)=f(m+n)中,令m=n=0,
得f(0)f(0)=f(0+0)即f(0)=f(0)2,∴f(0)=0或1,
若f(0)=0,则当x>0时,有f(x)f(0)=f(x)=0与题设矛盾,
∴f(0)=1;
②当x>0时,﹣x<0,由已知得0<f(﹣x)<1,
又f(0)=f[x+(﹣x)]=f(x)f(﹣x)=1,0<f(﹣x)<1,∴ ,
即x>0时,f(x)>1;
③任取x1<x2,由①②及已知条件知x∈R时,f(x)>0,
则 ,∵x2﹣x1>0,∴f(x2﹣x1)>1,又因为f(x1)>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴y=f(x)在定义域R上为增函数
(2)解:f(x2﹣3ax+1)f(﹣3x+6a+1)=f(x2﹣3ax+1﹣3x+6a+1)=f[x2﹣3(a+1)x+2(3a+1)],
又f(0)=1,f(x)在R上单调递增,
∴原不等式等价于x2﹣3(a+1)x+2(3a+1)≤0,
不等式可化为(x﹣2)[x﹣(3a+1)]≤0,
∴当2<3a+1,即 时,2≤x≤3a+1;
当2=3a+1,即 时,x=2;
当2>3a+1,即 时,3a+1≤x≤2
【解析】(1)①利用赋值法,转化求解即可.②判断函数的范围,通过f(0)=f[x+(﹣x)]转化求解证明即可.③利用函数的单调性的定义证明即可.(2)利用已知条件化简表达式,利用函数的单调性,推出不等式,然后求解不等式的解集.
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【题目】已知二次函数f(x)满足f(x+1)﹣f(x)=2x(x∈R),且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣2tx在区间[﹣1,5]上是单调函数,求实数t的取值范围;
(3)若关于x的方程f(x)=x+m有区间(﹣1,2)上有唯一实数根,求实数m的取值范围(注:相等的实数根算一个).
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【题目】如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB,PC的中点.
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:EF⊥CD;
(3)若∠PDA=45°,求EF与平面ABCD所成的角的大小.
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【题目】根据下列条件,分别求直线方程:
(1)经过点A(3,0)且与直线2x+y﹣5=0垂直;
(2)求经过直线x﹣y﹣1=0与2x+y﹣2=0的交点,且平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程.
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【题目】某学校高三年级有学生500人,其中男生300人,女生200人,为了研究学生的数学成绩是否与性别有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名学生,先统计了他们期中考试的数学分数,然后按性别分为男、女两组,再将两组学生的分数分成5组:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
附:K2= .
(1)从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人,求两人恰好为一男一女的概率;
(2)若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”?
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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