Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}3，x＜0\\{x^2}-2ax+2a，x≥0\end{array}$的图象上恰好有两对关于原点对称的点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，3）
• B． （${\frac{3}{2}$，+∞）
• C． （-1，3）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 由关于原点对称特点可得x²-2ax+2a=-3在（0，+∞）上有两解，由判别式大于0，两根之和大于0，之积大于0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：∵函数f（x）图象上恰好有两对关于原点对称的点，
∴x²-2ax+2a=-3在（0，+∞）上有两解，
即x²-2ax+2a+3=0在（0，+∞）上有两解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-4（2a+3）＞0}\\{2a+3＞0}\\{2a＞0}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{a＞3或a＜-1}\\{a＞-\frac{3}{2}}\\{a＞0}\end{array}\right.$，
解得a＞3，
故选：D．

点评 本题考查函数的图象的对称性，注意运用转化思想，注意运用二次方程实根的分布，属于中档题．