Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA=SB，点E为AB的中点，点F为SC的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）求证：平面SCD⊥平面SCE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明EF⊥CD，而在正方形中CD∥AB，所以可以转化为证明EF⊥AB，而EF与AB在同一个三角形中，只需证明△AFB是等腰三角形即可，而AF、BF分别是Rt△SAC、Rt△SBC斜边SC上的中线，从而易得AF=BF，问题可以得到解决．
（Ⅱ），根据第一问的结论，已经证明了EF⊥CD，根据面面垂直的判定定理，只需再证明EF垂直于与CD相交的一条直线即可，而SC与EF有交点，因而首先考虑SC，在三角形SEC中，容易证明SE=EC，从而得到EF⊥SC，从而问题得到解决．

解答：证明：（Ⅰ）连接AC、AF、BF、EF、
∵SA⊥平面ABCD
∴AF为Rt△SAC斜边SC上的中线
∴AF=

1

2

SC（2分）
又∵ABCD是正方形∴CB⊥AB
而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA
∴CB⊥平面SAB∴CB⊥SB
∴BF为Rt△SBC斜边SC上的中线
BF=

1

2

SC（5分）
∴△AFB为等腰三角形，EF⊥AB又CD∥AB∴EF⊥CD（7分）
（Ⅱ）由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE
∴SE=EC即△SEC是等腰三角形∴EF⊥SC
又∵SC∩CD=C∴EF⊥平面SCD又EF?平面SCE
∴平面SCD⊥平面SCE（12分）

点评：本题考查直线与直线的位置关系中的垂直问题以及面面关系中 的垂直问题，注意问题的转化思想，以及前面问题的结论对于后面问题的解决的有利因素，即前面问题的结论可以作为后面问题 的条件直接使用，将会大大提高解题速度．