Question

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[-1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．
（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（2）解不等式；
（3）若f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立．求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数f（x）在[-1，1]上单调增，证明如下
由题意，设x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂
则x₁-x₂＜0
∵x，y∈[-1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．
令x=x₁，y=-x₂，
∴f（x₁）+f（-x₂）＜0
∵函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函数f（x）在[-1，1]上单调增；
（2）由（1）知，，解得：
（3）由于函数f（x）在[-1，1]上单调增，
∴函数f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1）=1
∴f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立可转化为：0≤m²-2am对所有a∈[-1，1]恒成立
∴，
解得m≥2或m≤-2或m=0
分析：（1）设x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，利用x，y∈[-1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0，可得f（x₁）+f（-x₂）＜0，根据函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，即可得函数f（x）在[-1，1]上单调增；
（2）由（1）知，，解之即可；
（3）先确定函数f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1）=1，将f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立转化为：0≤m²-2am对所有a∈[-1，1]恒成立，从而可求实数m的取值范围．
点评：本题以抽象函数的性质为载体，考查函数的单调性，考查单调性与奇偶性的结合，同时考查了恒成立问题，解题的关键是：f（x）≤m²-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立转化为：0≤m²-2am对所有a∈[-1，1]恒成立