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二次函数f(x)=ax2+bx+c,(a是正整数),c≥1,a+b+c≥1,方程ax2+bx+c=0有两个小于1的不等正根,则a的最小值为


  1. A.
    2
  2. B.
    3
  3. C.
    4
  4. D.
    5
D
分析:将二次函数f(x)设成两根式形式,根据条件写出两根式形式的关系式,将a分离出来,然后利用基本不等式求出最值即可
解答:设f(x)=a(x-p)(x-q),其中p,q属于(0,1)且p不等于q.
由f(0)≥1及f(1)≥1,可得:apq≥1,a(1-p)(1-q)≥1,
两式相乘有a2p(1-p)q(1-q)≥1,即a2
又由基本不等式可得:p(1-p)q(1-q)≤
由于上式取等号当且仅当p=q=与已知矛盾,故上式的等号取不到,
故p(1-p)q(1-q)<
因此得到a2>16即a>4
所以函数f(x)=5x2-5x+1满足题设的所有条件,
因此a的最小值为5.
故选D.
点评:本题主要考查了函数与方程的综合运用,以及根的分布问题,本题解题的关键是熟练应用基本不等式求最值,属于中档题目.
练习册系列答案
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已知二次函数f(x)=a(x+1)2+4-a,其中a为常数且0<a<3.取x1,x2满足:x1>x2,x1+x2=1-a,则f(x1)与f(x2)的大小关系为(  )

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已知二次函数f(x)=a+bx(a,b是常数且a0)满足条件:f(2)=0.方程f(x)=x有等根

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(2)问:是否存在实数m,n使得f(x)定义域和值域分别为[m,n]和

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已知二次函数f(x)=a(x+1)2+4-a,其中a为常数且0<a<3.取x1,x2满足:x1>x2,x1+x2=1-a,则f(x1)与f(x2)的大小关系为(  )
A.不确定,与x1,x2的取值有关
B.f(x1)>f(x2
C.f(x1)<f(x2
D.f(x1)=f(x2

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已知二次函数f(x)=a(x-m)(x-n)(m<n),若不等式f(x)>0的解集是(m,n)且不等式f(x)+2>0的解集是(α,β),则实数m、n、α、β的大小关系是( )
A.m<α<β<n
B.α<m<n<β
C.m<α<n<β
D.α<m<β<n

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