Question

19．如图，在三角形ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=θ，点D为BC的三等分点．则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$的取值范围为（　　）

• A． $（{-\frac{11}{3}，\frac{13}{3}}）$
• B． $（{\frac{1}{3}，\;\frac{7}{3}}）$
• C． $（{-\frac{5}{3}，\frac{55}{3}}）$
• D． $（{-\frac{5}{3}，\;\frac{7}{3}}）$

Answer 1

分析 直接利用向量的运算法则和数量积运算把$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$化为2cos$θ+\frac{1}{3}$，然后由-1＜cosθ＜1求得答案．

解答 解：∵$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=（$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=-$\frac{2}{3}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{1}{3}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$$+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=$-\frac{2}{3}×4+\frac{1}{3}×9$$+\frac{1}{3}×2×3cosθ$
=2cos$θ+\frac{1}{3}$．
∵-1＜cosθ＜1，∴-$\frac{5}{3}$＜2cosθ+$\frac{1}{3}$＜$\frac{7}{3}$．
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$∈（-$\frac{5}{3}，\frac{7}{3}$）．
故选：D．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键，是中档题．