Question

（2010•朝阳区二模）已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0）．在椭圆M中有一内接三角形ABC，其顶点C的坐标(

3

，1)，AB所在直线的斜率为

3

3

．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）当△ABC的面积最大时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由椭圆的定义知2a=

(-2- 3 )2+1

+

(2- 3 )2+1

．解出a的值，再由b²=a²-c²解出b的值即可得出椭圆的方程；
（II）由题意可直线AB的方程为y=

3

3

x+m，再由弦长公式用引入的参数m表示出弦长AB，再用m表示出点C到直线AB的距离，由三角形的面积公式将三角形的面积表示成m的函数，由基本不等式判断出面积最大时的m的值，即可求得直线AB的方程

解答：解：（Ⅰ）由椭圆的定义知2a=

(-2- 3 )2+1

+

(2- 3 )2+1

．
解得 a²=6，所以b²=a²-c²=2．
所以椭圆M的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）由题意设直线AB的方程为y=

3

3

x+m，
由

x2 6 + y2 2 =1 y= 3 3 x+m

得2x2+2

3

mx+3m2-6=0．
因为直线AB与椭圆M交于不同的两点A，B，且点C不在直线AB上，
所以

△=12m2-24(m2-2)＞0 1≠ 3 3 • 3 +m

解得-2＜m＜2，且m≠0．
设A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x1+x2=-

3

m，x1x2=

3m2-6

2

，y1=

3

3

x1+m，y2=

3

3

x2+m．
所以|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

4 3 [(x1+x2)2-4x1x2]

=2

4-m2

．
点C(

3

，1)到直线y=

3

3

x+m的距离d=

3 |m|

2

．
于是△ABC的面积S=

1

2

|AB|•d=

3

2

|m|•

4-m2

≤

3

2

•

m2+(4-m2)

2

=

3

，
当且仅当|m|=

4-m2

，即m=±

2

时“=”成立．
所以m=±

2

时△ABC的面积最大，此时直线AB的方程为y=

3

3

x±

2

．
即为x-

3

y±

6

=0．…（13分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了弦长的求法，三角形的面积公式，基本不等式求最值，椭圆的定义，椭圆的标准方程的求法，熟练掌握相关的知识与技巧是解题的关键，本题考查了数形结合的思想，转化的思想，对公式的记忆与灵活运用能力，是综合性较强的题目