Question

已知函数f（x）=ax+

b

x

-2a+2（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行．
（Ⅰ）求log₄（a-b）的值；
（Ⅱ）若f（x）-2lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=a-

b

x2

，由此能求出log₄（a-b）=log₄2=

1

2

．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，得g（1）=0，g′（x）=a-

a-2

x2

-

2

x

=

a(x-1)(x- 2-a a )

x2

，由此利用分类讨论思想能求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+

b

x

-2a+2（a＞0），
∴f′(x)=a-

b

x2

，
∵函数f（x）=ax+

b

x

-2a+2（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行，
∴f′（1）=a-b=2，
∴log₄（a-b）=log₄2=

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=ax+

a-2

x

+2-2a，
令g（x）=f（x）-2lnx=ax+

a-2

x

+2-2a-2lnx，x∈[1，+∞），
则g（1）=0，
g′（x）=a-

a-2

x2

-

2

x

=

ax2-2x-(a-2)

x2

=

a(x-1)(x- 2-a a )

x2

，
①当0＜a＜1时，

2-a

a

＞1，
∴当x∈（1，

2-a

a

）时，g′（x）＜0，函数g（x）是（1，

2-a

a

）上的减函数，
∴f（x）-2lnx≥0在[1，+∞）上不成立；
②当a＞1时，则

2-a

a

＜0，
当x＞1时，g′（x）＞0，
解得g（x）在[1，+∞）上单调递增，
又g（1）=0，∴f（x）-2lnx＞0．
综上，a的取值范围是[1，+∞）．

点评：本题考查对数值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．