Question

已知抛物线C₁：x²+by=b²经过椭圆C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点．设Q（3，b），又M，N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点，若△QMN的重心（中线的交点）在抛物线C₁上，
（1）求C₁和C₂的方程．
（2）有哪几条直线与C₁和C₂都相切？（求出公切线方程）

Answer 1

分析：（1）联立抛物线C₁的方程椭圆C₂的方程，求出M，N的坐标，求出△QMN的重心坐标，代入抛物线C₁，即可求得C₁和C₂的方程；
（2）设直线y=kx+m与C₁和C₂都相切，分别联立方程，利用判别式，即可得到结论．

解答：解：（1）因为抛物线C₁经过椭圆C₂的两个焦点F₁（-c，0），F₂（c，0），
所以c²+b×0=b²，即c²=b²，由a²=b²+c²=2c²，a²=2b²，
所以椭圆C₂的方程为：

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
联立抛物线C₁的方程x²+by=b²得：2y²-by-b²=0，
解得：y=-

b

2

或y=b（舍去），所以x=±

6

2

b
即M（-

6

2

b，-

b

2

），N（

6

2

b，-

b

2

），所以△QMN的重心坐标为（1，0）．
因为重心在C₁上，所以1²+b×0=b²，得b=1．
所以a²=2．
所以抛物线C₁的方程为：x²+y=1，
椭圆C₂的方程为：

x2

2

+y2=1；
（2）因为抛物线C₁：x²+y=1开口向下且关于y轴对称，所以与x轴垂直的直线都不是其切线．
所以可设直线y=kx+m与C₁和C₂都相切，
则由

x2+y=1 y=kx+m

⇒x2+kx+m-1=0有相等实根                       
⇒△1=k2-4(m-1)=0⇒k2=4(m-1)
又

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，∴（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0有相等实根
∴△2=2k2-m2+1=0
∴8（m-1）-m²+1=0
∴m=1或m=7
m=1时，k=0，切线方程为y=1
m=7时，k=±2

6

，切线方程为y=2

6

x+7，y=-2

6

x+7
∴有3条直线y=1，y=2

6

x+7，y=-2

6

x+7与C₁和C₂都相切．

点评：本题考查椭圆和抛物线的方程，考查直线与椭圆和抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．