Question

设动圆M满足条件p：经过点，且与直线相切；记动圆圆心M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知点M₁为轨迹C上纵坐标为m的点，以M₁为圆心满足条件p的圆与x轴相交于点F、A（A在F的右侧），又直线AM₁与轨迹C相交于两个不同点M₁、M₂，当OM₁⊥OM₂（O为坐标原点）时，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）可以看出点M的轨迹是以F为焦点，以L为准线的抛物线．，就可求出对应轨迹C的方程；
（Ⅱ）先求出点M₁和点点A的坐标以及直线AM₁的方程，再把直线方程与抛物线方程联立，求出关于点M₁、M₂坐标的方程，借助于x₁•x₂+y₁•y₂=0即可求出m的值．
解答：解：（Ⅰ）由题得，点M到点F（，0）的距离与到直线x=-的距离相等．
所以点M的轨迹是以F为焦点，以L为准线的抛物线．
故所求轨迹C的方程为y²=2x．
（Ⅱ）因为M₁在抛物线y²=2x
上，所以M₁的坐标为（，m），则点A的坐标为（m²-，0），
又点A在点F右侧，所以必有m²＞1，
所以直线AM₁的方程为y=（x-m²+）．
设M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂），
由⇒y²-y+=0，
显然△＞0，所以y₁+y₂=，y₁•y₂=1-2m²．x₁•x₂==，
当OM₁⊥OM₂时，有x₁•x₂+y₁•y₂=0．
即+1-2m²=0．
又m²＞1，∴m²=⇒m=..
点评：本题涉及到求轨迹方程问题．在求轨迹方程时，一般都是利用条件找到一个关于动点的等式，整理即可求出动点的轨迹方程．