Question

已知等差数列{a_n}的公差是2，前n项和S_n=pn²+2n，n∈N^*．
（Ⅰ）求p的值及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在等比数列{b_n}中，b₂=a₂-2，b₃=a₃+2，数列{b_n}前n项和是T_n，求证：数列{T_n+

1

2

}是等比数列．

Answer 1

考点：等比关系的确定,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）依题意，由d=a₂-a₁=S₂-2S₁=4p+4-2（p+2）=2p=2，可求得p=1，继而可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用等比数列的概念可求得公比q=

b3

b2

=3，继而可得数列{b_n}的通项公式，前n项和是T_n，利用等比数列的定义，可证得

Tn+1+ 1 2

Tn+ 1 2

=

1 2 •3n+1

1 2 •3n

=3，从而证得结论成立．

解答： （Ⅰ）解：∵等差数列{a_n}的公差d=2，前n项和S_n=pn²+2n，n∈N^*，
∴d=a₂-a₁=S₂-2S₁=4p+4-2（p+2）=2p=2，
∴p=1，a₁=1+2=3，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（Ⅱ）证明：∵在等比数列{b_n}中，b₂=a₂-2=3，b₃=a₃+2=9，
∴公比q=

b3

b2

=3，b₁=

b2

q

=1，
∴b_n=b₁•q^n-1=3^n-1，
∴数列{b_n}前n项和是T_n，=b₁+b₂+…+b_n=1+3+3²+…+3^n-1=

1-3n

1-3

=

1

2

（3ⁿ-1），
∴T_n+

1

2

=

1

2

•3ⁿ，
∵

Tn+1+ 1 2

Tn+ 1 2

=

1 2 •3n+1

1 2 •3n

=3，
∴数列{T_n+

1

2

}是以3为公比的等比数列．

点评：本题考查等比关系的确定与等差数列的性质，考查等比数列的求和公式，考查运算与推理、证明的能力，属于中档题．