Question

17．若函数f（x）对其定义域内的任意x₁，x₂，当f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为紧密函数，例如函数f（x）=lnx（x＞0）是紧密函数，下列命题：
①紧密函数必是单调函数；②函数f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$（x＞0）在a＜0时是紧密函数；
③函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_3}x，x≥2}\\{2-x，x＜2}\end{array}}$是紧密函数；
④若函数f（x）为定义域内的紧密函数，x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；
⑤若函数f（x）是紧密函数且在定义域内存在导数，则其导函数f′（x）在定义域内的值一定不为零．
其中的真命题是②④．

Answer 1

分析 根据已知可得紧密函数f（x）的自变量与函数值是一一映射，单调函数一定是紧密函数，但紧密函数不一定是单调的，由此逐一分析5个结论的真，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）对其定义域内的任意x₁，x₂，当f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为紧密函数，
∴紧密函数f（x）的自变量与函数值是一一映射，
单调函数一定是紧密函数，但紧密函数不一定是单调的，故①错误；
f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$（x＞0）在a＜0时是单调递增函数，故一定是紧密函数，故②正确；
函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_3}x，x≥2}\\{2-x，x＜2}\end{array}}$不是一一映射，不是紧密函数，故③错误；
若函数f（x）为定义域内的紧密函数，x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂），故④正确；
函数f（x）=x³是紧密函数且在定义域内存在导数，则其导函数f′（x）=3x²在定义域内的值可以为零，故⑤错误；
故答案为：②④

点评 本题考查的知识点是紧密函数的定义，正确理解紧密函数的概念，是解答的关键．