Question

1．已知平面向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$，（$\overrightarrow{c}$$-\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$）=0，则|$\overrightarrow{c}$|的最大值为$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 根据条件可以得到$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为60°，可作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，根据条件可以得出OA=2，OB=2，∠AOB=60°，AC⊥BC，从而说明点C在以AB为直径的圆上，从而当OC过圆心时，OC最长，即$|\overrightarrow{c}|$最大，连接AB，△AOB为等边三角形，设圆心为D，从而根据OC=OD+DC便可得出$|\overrightarrow{c}|$的最大值．

解答 解：$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{1}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=60°$；
如图，作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}，\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}$；

∵$（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}）•（\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}）=0$；
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=0$；
∴AC⊥BC；
∴点C在以AB为直径的圆上，设圆心为D，D为AB中点；
∠AOB=60°，OA=OB=2；
∴AB=2；
∴圆半径为1；
∴当OC过D点时，OC最大，即$|\overrightarrow{c}|$最大；
此时$OC=OD+DC=2•\frac{\sqrt{3}}{2}+1=\sqrt{3}+1$；
即$|\overrightarrow{c}|$的最大值为$\sqrt{3}+1$．
故答案为：$\sqrt{3}+1$．

点评 考查数量积的计算公式，向量夹角的概念，用有线向量表示向量，以及向量垂直的充要条件，直径所对的圆周角为直角，数形结合解题的方法．