Question

20．已知不等式$\frac{ax-2}{x+1}$＞0（a∈R）
（1）解关于x的不等式；
（2）若x=-a时不等式成立，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）分三种情况考虑：当a=0时，把a=0代入原不等式，根据两数相除，异号得负的取符号法则可得x+1小于0，即可求出此时x的范围；当a大于0时，根据两数相除的取符号法则得到ax-2与x+1同号，转化为两个不等式组，求出两不等式组解集的并集得到原不等式的解集；当a小于0时，在不等式两边同时除以-1，不等号方向改变，转化为两个不等式组，分两种情况：-2＜a＜0和a＜-2，根据$\frac{2}{a}$与-1的大小，写出不等式组的解集，进而得到原不等式的解集；
（2）把x=a代入原不等式，得到关于a的不等式，根据两数相除，同号得正的取符号法则，由a²+2恒大于0，得到a-1也大于0，求出a的范围即可．

解答 解：（1）当a=0时，原不等式化为$\frac{2}{x+1}$＜0，解得x＜-1；
当a＞0，原不等式可化为：
$\left\{\begin{array}{l}{ax-2＞0}\\{x+1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{ax-2＜0}\\{x+1＜0}\end{array}\right.$，
解得x＞$\frac{2}{a}$或x＜-1；
当a＜0时，原不等式变形得：$\frac{-ax+2}{x+1}$＜0，
可化为 $\left\{\begin{array}{l}{-ax+2＞0}\\{x+1＜0}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{-ax+2＜0}\\{x+1＞0}\end{array}\right.$，
若$\frac{2}{a}$＜-1，即-2＜a＜0时，解得：$\frac{2}{a}$＜x＜-1，
若$\frac{2}{a}$＞-1，即a＜-2时，解得：-1＜x＜$\frac{2}{a}$，
则原不等式的解集为：当a=0时，解集为（-∞，-1）；
当a＞0时，解集为（-∞，-1）∪（$\frac{2}{a}$，+∞）；
当-2＜a＜0时，解集为（$\frac{2}{a}$，-1）；
当a=-2时，解集为空集；
当a＜-2时，解集为（-1，$\frac{2}{a}$）；
（2）把x=-a代入原不等式得：$\frac{{-a}^{2}-2}{-a+1}$＞0，
即 $\frac{{a}^{2}+2}{a-1}$＞0，
∵a²+2＞0，∴a-1＞0，
解得a＞1，
则a的取值范围是a＞1．

点评 此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型．