Question

设an=

1•3•5…(2n-1)

2•4•6…2n

与bn=

1 2n+1

(n∈N*)
（1）计算a₁，a₂，a₃与b₁，b₂，b₃，比较a₁与b₁，a₂与b₂，a₃与b₃的大小；
（2）猜想a_n与b_n的大小，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用条件，分别代入计算，即可求得结论，并可比较大小；
（2）先猜想，再利用数学归纳法证明，关键是n=k+1，结论的证明．

解答：解：（1）a1=

1

2

，a2=

3

8

，a3=

5

16

，b1=

1 3

，b2=

1 5

，b3=

1 7

，a1＜b1，a2＜b2，a3＜b3．…（4分）
（2）猜想：an＜bn(n∈N*)，…（6分）     
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，已证．（7分）
②假设当n=k（k∈N^*）时a_k＜b_k，则n=k+1时，

ak+1= 1•3•5…(2k-1)•(2k+1) 2•4•6…(2k)•2(k+1) ＜ 1 2k+1 2k+1 2(k+1) = 2k+1 2(k+1) = 2k+1 4(k+1)2 = 2k+1 4k2+8k+4 bk+1= 1 2k+3 = 2k+1 (2k+1)(2k+3) = 2k+1 4k2+8k+3 ∵ 2k+1 4k2+8k+4 ＜ 2k+1 4k2+8k+3 ∴ak+1＜bk+1

即n=k+1时，结论成立
由①②可知，an＜bn(n∈N*)．（12分）

点评：本题考查学生的计算能力，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．