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【题目】某宾馆在装修时,为了美观,欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形,并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域,其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形,现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口.

(1)若窗口ABCD为正方形,且面积大于 m2(木条宽度忽略不计),求四根木条总长的取值范围;
(2)若四根木条总长为6m,求窗口ABCD面积的最大值.

【答案】
(1)解:设一根木条长为xcm,则正方形的边长为2 =

∵SABCD

∴4﹣x2

∴x<

∵四根木条将圆分成9个区域,

∴x>

∴4 <x<2


(2)解:设AB所在木条长为am,CD所在木条长为bm,

由条件,2a+2b=6,则a+b=3,

∵a,b∈(0,2),

∴b=3﹣a∈(0,2),∴a,b∈(1,2).

∵AB=2 ,BD=2

∴SABCD=4 = =

当且仅当a=b= ∈(1,2)时,SABCD=

答:窗口ABCD面积的最大值为


【解析】(1)求出正方形的边长,可得正方形的面积,利用面积大于 m2 , 即可求四根木条总长的取值范围;(2)设AB所在木条长为am,CD所在木条长为bm,求出AB,BD,可得窗口ABCD面积,利用基本不等式求窗口ABCD面积的最大值.
【考点精析】利用基本不等式在最值问题中的应用对题目进行判断即可得到答案,需要熟知用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

练习册系列答案
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【题目】为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:

是否需要志愿 性别

需要

40

30

不需要

160

270

  1. 估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;
  2. 能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?
  3. 根据(2)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人,需要志愿帮助的老年人的比例?说明理由

附:

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【题目】在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x﹣1)2+y2=2,圆C2:(x﹣m)2+(y+m)2=m2 . 圆C2上存在点P满足:过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点为A,B,△ABP的面积为1,则正数m的取值范围是

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【题目】某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间(单位:h)的样本数据.

(1)应收集多少位女生的样本数据?

(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4 h的概率.

(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4 h,请完成下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”?

男生

女生

总计

每周平均体育运动时间不超过4h

每周平均体育运动时间超过4h

总计

附:

P(K2≥k0)

0.100

0.050

0.010

0.005

k0

2.706

3.841

6.635

7.879

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【题目】在一个特定时段内,以点为中心的海里以内海域被设为警戒水域.点正北50海里处有一个雷达观测站.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距海里的位置,经过分钟又测得该船已行驶到点北偏东且与点相距海里的位置

(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);

(2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由.

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1)若pq充分不必要条件,求实数的取值范围;

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