Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，记函数在区间的最大值为.最小值为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数的增区间为，无单调减区间；当时，函数的增区间为，减区间为；（2）.

【解析】

（1）求出函数的定义域，.分和两种情况讨论，即求的单调区间；

（2）当时，由（1）可得函数在区间单调递减，在区间单调递增，则 .比较和的大小，分和两种情况讨论，构造函数，求的取值范围.

（1）函数的定义域为.

.

当时，恒成立，函数的增区间为，无单调减区间；

当时，令可得；令可得，

函数的增区间为，减区间为.

综上，当时，函数的增区间为，无单调减区间；

当时， 函数的增区间为，减区间为.

（2）当时，由（1）可得函数在区间单调递减，在区间单调递增.

，，.

由.

①当时，，有.

记，则，

函数在单调递减，，

即.

此时的取值范围为.

②当时，，有.

记，则，

函数在单调递增，，

即.

此时的取值范围为.

综上，的取值范围为.