Question

如图，已知矩形ABCD的边AB=2，BC=

2

，点E、F分别是边AB、CD的中点，沿AF、EC分别把三角形ADF和三角形EBC折起，使得点D和点B重合，记重合后的位置为点P．
（1）求证：平面PCE⊥平面PCF；
（2）设M、N分别为棱PA、EC的中点，求直线MN与平面PAE所成角的正弦；
（3）求二面角A-PE-C的大小．

Answer 1

分析：（1）证明平面PCE⊥平面PCF，利用面面垂直的判定，证明PE⊥平面PCF即可；
（2）建立坐标系，用坐标表示点与向量，利用向量的夹角公式，即可求解；
（3）求出平面PAE的法向量是

PF

，平面PEC的法向量，利用cos＜

n

，

PF

＞=-

2

2

．即可求得结论．

解答：（1）证明：∵PE=PF=1，EF=

2

，∴PE⊥PF
∵PE⊥PC，PC∩PF=P
∴PE⊥平面PCF
∵PE?平面PCE
∴平面PCE⊥平面PCF；（4分）
（2）如图，建立坐标系，则A(

2

2

，-1，0) 、E(

2

2

，0，0)、 N(0，

1

2

，0) 、P(0，0，

2

2

)、C(-

2

2

，1，0)、F(-

2

2

，0，0) 、M(

2

4

，-

1

2

，

2

4

)

PF

=(-

2

2

，0-

2

2

，)，

MN

=(-

2

4

，1，-

2

4

，)
平面PAE的法向量是

PF

，设MN与平面PAE 所成的角为θ
∴sinθ=|cos＜

MN

，

PF

＞|=

MN • PF

| MN |•| PF |

=

5

5

（9分）
（3）平面PAE的法向量是

PF

，设平面PEC的法向量

n

=(x，y，z)
∴

n

•

EC

=0，

n

•

PE

=0，则

- 2 x+y=0 x-z=0

所以 

n

=(1，

2

，1)
所以cos＜

n

，

PF

＞=-

2

2

所以二面角A-PE-C的大小为135°（14分）

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，面面角，解题的关键是正确运用面面垂直的判定，正确建立坐标系，利用向量的方法解决立体几何问题．