【题目】设函数f(x)在R上存在导数f′(x),对任意的x∈R,有f(x)+f(-x)=x2,且x∈(0,+∞)时,f′(x)<x.若f(1-a)-f(a)≥-a,则实数a的取值范围是______.
【答案】[,+∞)
【解析】
根据条件构造函数g(x)=f(x)-x2,判断函数的奇偶性,利用导数研究函数的单调性,结合函数奇偶性和单调性将不等式进行转化求解即可.
解:∵f(x)+f(-x)=x2,
∴f(-x)-x2=x2-f(x)=-[f(x)-x2],
设g(x)=f(x)-x2,
则g(x)是奇函数,
且g′(x)=f′(x)-x.
∵x∈(0,+∞)时,f′(x)<x.
∴当x∈(0,+∞)时,g′(x)<0.即此时g(x)为减函数,
∵g(x)是奇函数,
∴当x≤0时,g(x)也是减函数,
即g(x)在(-∞,+∞)上是减函数,
则若f(1-a)-f(a)≥-a,
等价为g(1-a)+(1-a)2-g(a)-a2≥-a,
即g(1-a)+-a+a2-g(a)-a2≥-a,
即g(1-a)≥g(a),
即1-a≤a,
得2a≥1,即a≥,
即实数a的取值范围是[,+∞),
故答案为:[,+∞)
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【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下资料:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差/摄氏度 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数/颗 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是:先从这5组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据的概率;
(2)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据,请根据12月2日至4日的数据,求出关于的线性回归方程,由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠?
附:参考公式:,.
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【题目】从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,且,.四边形ABCD满足,,.E为侧棱PB的中点,F为侧棱PC上的任意一点.
(1)若F为PC的中点,求证:平面PAD;
(2)求证:平面平面PAB;
(3)是否存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直?若存在,写出证明过程并求出线段PF的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】判断下列命题的真假:
(1)存在两个无理数,它们的乘积是有理数;
(2)如果实数集的子集A是有限集,则A中的元素一定有最大值;
(3)没有一个无理数不是实数;
(4)如果一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形;
(5)集合A是集合的子集;
(6)集合是集合A的子集.
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【题目】(13分)设{an}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4.
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设{bn}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{an+bn}的前n项和Sn.
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【题目】甲、乙两城相距100,在两城之间距甲城处的丙地建一核电站给甲、乙两城供电,为保证城市安全,核电站距两地的距离不少于10.已知各城供电费用(元)与供电距离()的平方和供电量(亿千瓦时)之积都成正比,比例系数均是=0.25,若甲城供电量为20亿千瓦时/月,乙城供电量为10亿千瓦时/月,
(1)把月供电总费用(元)表示成()的函数,并求其定义域;
(2)求核电站建在距甲城多远处,才能使月供电总费用最小.
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