Question

设集合M={（x，y）|y=2

1-x2

}，N={（x，y）|y=k（x-b）+1}，若对任意的0≤k≤1都有M∩N≠∅，则实数b的取值范围是（　　）

• A、[1-

  5

  ，1+

  5

  ]
• B、[-1，2]
• C、[-1，1+

  5

  ]
• D、[1-

  5

  ，2]

Answer 1

考点：交集及其运算

专题：直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程,集合

分析：依题意，可作出集合A与集合B中曲线的图形，依题意，数形结合即可求得实数b的取值范围．

解答： 解：∵集合A={（x，y）|y=2

1-x2

}，B={（x，y）|y=k（x-b）+1}，
当0≤k≤1时，都有A∩B≠∅，作图如下：

集合A中的曲线为椭圆x2+

y2

4

=1的上半部分，
B中的点的集合为过（b，1）斜率为k的直线上的点，
由图知，当k=0时，显然A∩B≠∅，
当k=1，y=（x-b）+1经过点（1，0）时，b=2；
当k=1，直线y=（x-b）+1与曲线y=2

1-x2

相切时，
由2

1-x2

=（x-b）+1得：5x²+2（1-b）+b²-2b-3=0，
令△=4（1-b）²-20（b²-2b-3）=0，
解得：b=1-

5

，或b=1+

5

（舍去），
∵0≤k≤1时，都有A∩B≠∅，
∴实数b的取值范围为：[1-

5

，2]，
故选：D．

点评：本题考查集合关系中的参数取值问题，考查数形结合思想的应用，考查作图与分析运算的能力，属于中档题．