Question

若函数f（x）在定义域R上处处可导，则命题“f（x）的增函数”是命题“?x∈R，f′（x）＞0”成立的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既非充分也非必要条件

Answer 1

分析：根据函数单调性与导数符号的关系，我们分别讨论“f（x）的增函数”⇒“?x∈R，f′（x）＞0”的真假，与“?x∈R，f′（x）＞0”⇒“f（x）的增函数”的真假，结合充要条件的定义，即可得到答案．

解答：解：∵函数f（x）在定义域R上处处可导，
若“f（x）的增函数”，则“?x∈R，f′（x）≥0”，即“?x∈R，f′（x）＞0”不一定成立，
故命题“f（x）的增函数”是命题“?x∈R，f′（x）＞0”成立的不充分条件
若“?x∈R，f′（x）＞0”成立，则命题“f（x）的增函数”也成立，
故命题“f（x）的增函数”是命题“?x∈R，f′（x）＞0”成立的必要条件
故命题“f（x）的增函数”是命题“?x∈R，f′（x）＞0”成立的必要不充分条件
故选B

点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，及函数单调性与其导数符号的关系，其中判断“f（x）的增函数”⇒“?x∈R，f′（x）＞0”的真假，与“?x∈R，f′（x）＞0”⇒“f（x）的增函数”的真假，是解答本题的关键．