【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E: (a>b>0),圆O:x2+y2=r2(0<r<b),若圆O的一条切线l:y=kx+m与椭圆E相交于A,B两点.
(Ⅰ)当k=﹣ ,r=1时,若点A,B都在坐标轴的正半轴上,求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若以AB为直径的圆经过坐标原点O,探究a,b,r之间的等量关系,并说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)依题意原点O到切线l:y=﹣ x+m的距离为半径1,∴ ,m= ,
切线l:y=﹣ x+ ,A(0, ),B( ,0)
∴a= ,b= ,∴椭圆E的方程为: .
(Ⅱ)设A(x1 , y1),B(x2 , y2),
联立 ,得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0.
.
.
∵以AB为直径的圆经过坐标原点O,∴ ;
(k2+1)x1x2+km(x1+x2)=m2(a2+b2)=(k2+1)a2b2…①
又∵圆O的一条切线l:y=kx+m,∴原点O到切线l:y=kx+m的距离为半径rm2=(1+k2)r2…②
由①②得r2(a2+b2)=a2b2 .
∴以AB为直径的圆经过坐标原点O,则a,b,r之间的等量关为:r2(a2+b2)=a2b2 .
【解析】(Ⅰ)依题意原点O到切线l:y=﹣ x+m的距离为半径1,m= ,A(0, ),B( ,0)代入椭圆方程,求出a、b即可(2)由原点O到切线l:y=kx+m的距离为半径rm2=(1+k2)r2 . 联立直线方程和与椭圆的方程,利用 求解.
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点,需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:才能正确解答此题.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底, 是的中点。
(1)证明:直线平面;
(2)点在棱上,且直线与底面所成角为,求二面角的余弦值。
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【题目】已知函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称,当函数y=f(x)和y=F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时,把区间[a,b]叫做函数y=f(x)的“不动区间”.若区间[1,2]为函数f(x)=|2x﹣t|的“不动区间”,则实数t的取值范围是( )
A.(0,2]
B.[ ,+∞)
C.[ ,2]
D.[ ,2]∪[4,+∞)
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【题目】如图,抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F,取线段OB的中点D,延长OA至点C,使|OA|=|AC|,过点C,D作y轴的垂线,垂足分别为E,G,则|EG|的最小值为 .
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【题目】已知圆M过C(1,-1),D(-1,1)两点,且圆心M在x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设点P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,PB是圆M的两条切线,A,B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
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【题目】已知圆锥母线长为5,底面圆半径长为4,点M是母线PA的中点,AB是底面圆的直径,点C是弧AB的中点;
(1)求三棱锥P﹣ACO的体积;
(2)求异面直线MC与PO所成的角.
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