【题目】已知是数列的前项和,且满足,等差数列的前项和为,且, .
(Ⅰ)求数列与的通项公式;
(Ⅱ)若数列的通项公式为,问是否存在互不相等的正整数, , 使得, , 成等差数列,且 , , 成等比数列?若存在,求出, , ;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(I)利用可求得数为等比数列,公比为,由此求得数列的通项公式.利用基本元的思想将转化为的方程组,解出,由此求得数列的通项公式.(II)由(I)求得数列的表达式.先假设存在,利用和列方程组,求得,化简后得到,这与矛盾,故不存在这样的数.
试题解析:
(Ⅰ)由 令可知,
当时,有,两式相减得,
∴ ,
∴数列是以3为首项,3为公比的等比数列,∴.
设等差数列的公差为,依题意得, ,解得,
∴.
(Ⅱ)由(1)可知,假设存在互不相等的正整数, , ,使得, , 成等差数列,且 , , 成等比数列.则,即
由, , 成等差数列,得所以.所以由得.即,又所以, 即,即即. 这与矛盾,所以,不存在满足条件的正整数, , ,使得, , 成等差数列,且 , , 成等比数列.
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【题目】如图,在四棱锥中, 底面,底面是直角梯形, .
(1)在上确定一点,使得平面,并求的值;
(2)在(1)条件下,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
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【题目】中央电视台电视公开课《开讲了》需要现场观众,先邀请甲、乙、丙、丁四所大学的40名学生参加,各大学邀请的学生如下表所示:
大学 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
人数 | 8 | 12 | 8 | 12 |
从这40名学生中按分层抽样的方式抽取10名学生在第一排发言席就座.
(1)求各大学抽取的人数;
(2)从(1)中抽取的乙大学和丁大学的学生中随机选出2名学生发言,求这2名学生来自同一所大学的概率.
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【题目】已知点是圆上任意一点(是圆心),点与点关于原点对称.线段的中垂线分别与交于两点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)直线经过,与抛物线交于两点,与交于两点.当以为直径的圆经过时,求.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA=4,点D是AB的中点
(1)求证:ACBC;
(2)求证:AC//平面CDB;
(3)求二面角B-DC-B1的余弦值.
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【题目】某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车,已知该车每次拖4节车厢,一日能来回16次,如果每次拖7节车厢,则每日能来回10次.
(1)若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式:
(2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数。
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