Question

已知向量

a

=（4sinx，3），

b

=（cosx，-1），
（1）当

a

∥

b

时，求cos²x-sin2x的值；
（2）是函数f（x）=（

a

+4

b

）•

b

，且x∈[0，

π

2

]，求f（x）的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平行向量与共线向量

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）首先利用向量共线的充要条件，求出tanx=-

3

4

，再把函数关系式进行恒等变换，最后求出结果．
（2）根据向量的数量积求出三角函数关系式，通过恒等变换，变形成正弦型函数，利用定义域再．求出函数的值域

解答： 解：（1）已知向量

a

=（4sinx，3），

b

=（cosx，-1），
当

a

∥

b

时，则：-4sinx-3cosx=0
解得：tanx=-

3

4

cos²x-sin2x=

cos2x-2sinx•cosx

sin2x+cos2x

=

1-tanx

tan2x+1

=

8

5

（2）由已知向量

a

=（4sinx，3），

b

=（cosx，-1），
则：f（x）=（

a

+4

b

）•

b

=4（sinx+cosx）cosx+1=2sin2x+2cos2x+3=2

2

sin（2x+

π

4

）+3
因为：x∈[0，

π

2

]，

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1
1≤f(x)≤2

2

+3

点评：本题考查的知识要点：向量共线的充要条件，三角函数的恒等变换，向量的数量积，根据正弦型函数的定义域求值域．