Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1： =1和C2：x2+ =1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是 的最大值．记Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且 =w}，则Ω中元素个数为（ ）
A.2个
B.4个
C.8个
D.无穷个

Answer 1

【答案】D
【解析】解：椭圆C1： =1和C2：x2+ =1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，

可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，

则 =6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），

当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，

则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且 =w}中的元素有无穷多对．

另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，

由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，

当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，

显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．

故选：D．

设出P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．