Question

已知直线l被两平行直线2x-y+1=0和2x-y-3=0所截得的线段长为2，且直线l过点（1，0），求直线l的方程．

Answer 1

分析：设直线l与两条平行线的交点分别为点P，Q．分类讨论：
当直线l的斜率不存在时，取直线l：x=1．分别求出与两条平行线的交点，再利用两点间的距离验证即可．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-1）（k≠2）．分别求出与两条平行线的交点，再利用两点间的距离公式解出即可．

解答：解：设直线l与两条平行线的交点分别为点P，Q．
①直线l的斜率不存在时，取直线l：x=1．
联立

x=1 2x-y+1=0

，解得

x=1 y=3

，得到交点P（1，3）；
联立

x=1 2x-y-3=0

，解得

x=1 y=-1

，得到交点Q（1，-1）．
此时|PQ|=|-1-3|=4，不符合题意．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-1）（k≠2）．
联立

y=k(x-1) 2x-y+1=0

，解得

x= k+1 k-2 y= 3k k-2

．
∴P(

k+1

k-2

，

3k

k-2

)．
同理解得Q(

k-3

k-2

，

-k

k-2

)．
∴2=|PQ|=

( k+1 k-2 - k-3 k-2 )2+( 3k k-2 - -k k-2 )2

，
解得k=0或-

4

3

．
∴直线l的方程为y=0或y=-

4

3

(x-1)．
综上可知：直线l的方程为y=0或4x+3y-4=0．

点评：本题考查了与两条平行线的交点及其两交点的距离、两点间的距离公式、分类讨论方法．