【题目】函数在同一个周期内,当
时y取最大值1,当
时,y取最小值﹣1.
(1)求函数的解析式y=f(x);
(2)函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f(x)的图象?
(3)若函数f(x)满足方程f(x)=a(0<a<1),求在[0,2π]内的所有实数根之和.
【答案】(1) ;(2)见解析;(3)
.
【解析】
(1)通过同一个周期内,当时y取最大值1,当
时,y取最小值﹣1.求出函数的周期,利用最值求出φ,即可求函数的解析式y=f(x);
(2)函数y=sinx的图象经过左右平移,然后是横坐标变伸缩变换,纵坐标不变,可得到y=f(x)的图象,确定函数解析式;
(3)确定函数在[0,2π]内的周期的个数,利用f(x)=a(0<a<1)与函数的对称轴的关系,求出所有实数根之和.
(1)∵ ,∴
,
又因,∴
,又
,得
∴函数 ;
(2)y=sinx的图象向右平移个单位得
的图象,
再由图象上所有点的横坐标变为原来的
.
纵坐标不变,得到的图象,
∵的周期为
,
∴在[0,2π]内恰有3个周期,
∴在[0,2π]内有6个实根且
,
同理,,
故所有实数之和为.
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【题目】设f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=x2e2x+m|x|ex+1(m∈R)有四个零点,则m的取值范围为( )
A.(﹣∞,﹣e﹣ )
B.(﹣∞,e+ )
C.(﹣e﹣ ,﹣2)
D.(﹣∞,﹣ )
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【题目】已知函数f(x)= 的图象与g(x)的图象关于直线x=
对称,则g(x)的图象的一个对称中心为( )
A.( ,0)
B.( ,0)
C.( ,0)
D.( ,0)
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【题目】设分别为椭圆
的左右两个焦点.
(1)若椭圆上的点
到
两点的距离之和等于4,写出椭圆
的方程和焦点坐标;
(2)设点是(1)中所得椭圆上的动点,求线段
的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:如果是椭圆
上关于原点对称的两个点,点
是椭圆上任意一点,当直线
的斜率都存在,并记为
时,那么
与
之积是与点
位置无关的定值,请给予证明.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正实数),满足f(0)=g(0);
函数F(x)=f(x)+g(x)+b定义域为D.
(1)求a的值;
(2)若存在x0∈D,使F(x0)=x0成立,求实数b的取值范围;
(3)若n为正整数,证明:<4.
(参考数据:lg3=0.3010, =0.1342,
=0.0281,
=0.0038)
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【题目】有下列说法:①若,
,则
;②若2
=
,
分别表示
的面积,则
;③两个非零向量
,若|
|=|
|+|
|,则
与
共线且反向;④若
,则存在唯一实数
使得
,其中正确的说法个数为()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】已知函数f(x)=x2+|x|﹣|x﹣5|+2.
(1)求不等式f(x)<0的解集;
(2)若关于x的不等式|f(x)|≤m的整数解仅有11个,求m的取值范围.
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【题目】随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则( )
A. p1<p2<p3 B. p2<p1<p3
C. p1<p3<p2 D. p3<p1<p2
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