Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a+b≠0时，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）若a＞b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；
（2）若f（9^x-2•3^x）+f（2•9^x-k）＞0对任意x∈[0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由a＞b，得

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，所以f（a）+f（-b）＞0，由f（x）是定义在R上的奇函数，能得到f（a）＞f（b）．
（2）由f（x）在R上是单调递增函数，利用奇偶性、单调性可把f（9^x-2•3^x）+f（2•9^x-k）＞0中的符号“f”去掉，分离出参数k后转化为函数最值即可解决．

解答：解：（1）∵对任意a，b，当a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
∴

f(a)+f(-b)

a-b

＞0，
∵a＞b，∴a-b＞0，
∴f（a）+f（-b）＞0，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）＞0，
∴f（a）＞f（b）；
（2）由（1）知f（x）在R上是单调递增函数，
又f（9^x-2•3^x）+f（2•9^x-k）＞0，得f（9^x-2•3^x）＞-f（2•9^x-k）=f（k-2•9^x），
故9^x-2•3^x＞k-2•9^x，即k＜3•9^x-2•3^x，
令t=3^x，则t≥1，
所以k＜3t²-2t，而3t²-2t=3(t-

1

3

)2-

1

3

在[1，+∞）上递增，所以3t²-2t≥3-2=1，
所以k＜1，即所求实数k的范围为k＜1．

点评：本题考查解函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易出错．解题时要认真审题，注意转化思想的灵活运用．