设函数对任意实数x 、y都有
,
(1)求的值;
(2)若,求
、
、
的值;
(3)在(2)的条件下,猜想的表达式,并用数学归纳法加以证明。
(1)0 (2)4,9,16 (3)
解析试题分析:(1)令x=y=0得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0⇒f(0)=0
(2)f(1)=1, f(2)=f(1+1)=1+1+2=4 f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9 f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16
(3)猜想f(n)=,下用数学归纳法证明之.
当n=1时,f(1)=1满足条件
假设当n=k时成立,即f(k)=
则当n=k+1时f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=+1+2k=(k+1)
从而可得当n=k+1时满足条件
对任意的正整数n,都有 f(n)=
考点:抽象函数及其应用
点评:本题目主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值,及数学归纳法在证明数学命题中的应用,及利用放缩法证明不等式等知识的综合.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
从0,1,2, ,10中挑选若干个不同的数字填满图中每一个圆圈称为一种“填法”,若各条线段相连的两个圆圈内的数字之差的绝对值各不相同,则称这样的填法为“完美填法”。
试问:对图1和图2是否存在完美填法?若存在,请给出一种完美填法;若不存在,请说明理由。
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