Question

已知

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，其中0＜α＜β＜π．
（1）求证：

a

+

b

与

a

-

b

互相垂直；
（2）若k

a

+

.

b

与

a

-k

.

b

的长度相等，求α-β的值（k为非零的常数）．

Answer 1

分析：（1）求出(

a

+ 

b

)• (

a

-

b

)，利用两向量的数量积为0两向量垂直得证．
（2）求出两个向量的坐标，利用向量模的坐标公式求出两个向量的模，列出方程，化简求出三角函数值，求出角．

解答：（1）证明：∵(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0
∴

a

+

b

与

a

-

b

互相垂直
（2）解：k

a

+

b

=（kcosα+cosβ，ksinα+sinβ）；

a

-k

b

=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ）
|k

a

+

b

|=

k2+1+2kcos(β-α)

|

a

-k

b

|=

k2+1-2kcos(β-α)

而

k2+1+2kcos(β-α)

=

k2+1+2kcos(β-α)

cos（β-α）=0，
α-β=-

π

2

点评：本题考查向量垂直的充要条件、向量模的坐标公式、向量与三角函数结合是高考常出现的题型．