Question

已知数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3，a₃=9
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求使

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

＞

2012

2013

成立的最小正整数n的值．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的性质可知，(an-1)2=（a_n-1-1）•（a_n+1-1）（n≥2），再由a₁=3，a₃=9即可求得a₂，a₄归纳可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）知，a_n=2ⁿ+1，从而知数列{

1

an+1-an

}为首项与公比均为

1

2

的等比数列，从而可求其前n项和，依题意，解不等式即可．

解答：解：（1）∵数列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）为等差数列，且a₁=3=2¹，a₃=9=2³+1，
∴a_n＞1，(a2-1)2=（a₁-1）•（a₃-1）=2×8=16，
∴a₂=5=2²+1；
同理可求a₄=17=2⁴+1，
a₅=33=2⁵+1，
…
∴a_n=2ⁿ+1；
（2）∵a_n=2ⁿ+1，
∴a_n+1-a_n=2ⁿ，故

1

an+1-an

=(

1

2

)n，
∴

1 an+1-an

1 an-an-1

=

1

2

，又

1

a2-a1

=

1

2

，
∴数列{

1

an+1-an

}为首项与公比均为

1

2

的等比数列，
∴

1

a2-a1

+

1

a3-a2

+…+

1

an+1-an

=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=1-(

1

2

)n＞

2012

2013

，
∴n≥11（n∈N^*）．
∴正整数n_min=11．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的求和，考查归纳推理的应用与等比关系的确定，属于中档题．