Question

（1）证明函数 f（x）=x+

1

x

在x∈[1，+∞）上是增函数；
（2）求f（x）在[2，4]上的值域．

Answer 1

分析：（1）利用增函数的定义即可证明：设1≤x₁＜x₂，只需利用作差证明f（x₁）＜f（x₂）；
（2）由（1）知f（x）在[2，4]上的单调性，根据单调性可求得f（x）的最大值、最小值，从而可得函数的值域；

解答：（1）证明：设1≤x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=x1+

1

x1

-x₂-

1

x2

=x₁-x₂+

x2-x1

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

），
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，则0＜

1

x1x2

＜1，
∴1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数；
（2）解：由（1）知f（x）在[2，4]上是增函数，
∴f（x）_max=f（4）=

17

4

，f（x）_min=f（2）=

5

2

，
∴f(x)的值域为[

5

2

，

17

4

]．

点评：本题考查函数单调性的证明及其应用，属基础题，定义是证明函数单调性的基本方法，要熟练掌握．