Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3．
（1）当a=4，2≤x≤5，求函数f（x）的最大值与最小值；
（2）若x≥a，试求f（x）+3＞0的解集；
（3）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）含绝对值的函数可先讨论去掉绝对值，分别求出每段上的最值，后比较出最大值以及最小值．
（2）当x≥a时，可去掉绝对值，通过讨论比较两个根的大小，求出不等式的解集
（3）对于恒成立求参数的问题我们常常将参数进行分离，-

1

x

≤x-a≤

1

x

?x-

1

x

≤a≤x+

1

x

然后研究x-

1

x

在x∈[1，2]上的最大值，x+

1

x

在x∈[1，2]上的最小值．

解答：解：（1）当a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3，
①2≤x＜4时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3）²+6，
当x=2时，f（x）_min=5；当x=3时，f（x）_max=6（2分）
②当4≤x≤5时，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1）²-4，
当x=4时，f（x）_min=5；当x=5时，f（x）_max=12
综上所述，当x=2或4时，f（x）_min=5；
当x=5时，f（x）_max=12（4分）
（2）若x≥a，f（x）+3=x[x-（a-2）]，（6分）
当a＞2时，x＞a-2，或x＜0，因为a＞a-2，所以x≥a；
当a=2时，得x≠0，所以x≥a；
当a＜2时，x＞0，或x＜a-2，①若0＜a＜2，
则x≥a；②若a≤0，则x＞0
综上可知：当a＞0时，所求不等式的解集为[a，+∞）；（10分）
当a≤0时，所求不等式的解集为（0，+∞）（12分）
（3）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2
即x•|x-a|≤1?-

1

x

≤x-a≤

1

x

?x-

1

x

≤a≤x+

1

x

（14分）
因为x-

1

x

在x∈[1，2]上增，最大值是2-

1

2

=

3

2

，
x+

1

x

在x∈[1，2]上增，最小值是2，故只需

3

2

≤a≤2．故实数a的取值范围是

3

2

≤a≤2．

点评：本题综合考查了绝对值函数的有关性质，以及恒成立求参数问题．