Question

△ABC中，求证：

a2-b2

cosA+cosB

+

b2-c2

cosB+cosC

+

c2-a2

cosC+cosA

=0．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：利用正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R≠0，a²-b²=4R²（sin²A-sin²B）=4R²（cos²B-cos²A），同理可得b²-c²=4R²（cos²C-cos²B），c²-a²=4R²（cos²A-cos²C），代入等式的左边化简即可证明．

解答： 证明：由正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R≠0，
∴a²-b²=4R²（sin²A-sin²B）=4R²[1-cos²A-（1-cos²B）]=4R²（cos²B-cos²A），
同理可得b²-c²=4R²（cos²C-cos²B），c²-a²=4R²（cos²A-cos²C），
∴左边=4R²[（cosB-cosA）+（cosC-cosB）+（cosA-cosC）]=0=右边．
∴

a2-b2

cosA+cosB

+

b2-c2

cosB+cosC

+

c2-a2

cosC+cosA

=0．

点评：本题考查了正弦定理的应用、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．