Question

例5．已知函数f（x）对其定义域内的任意两个数a，b，当a＜b时，都有f（a）＜f（b），证明：f（x）=0至多有一个实根．

Answer 1

【答案】分析：正面证明难以下手，考虑用反证法，对于含有“至多”等形式的命题，常考虑用反证法．
解答：解：假设f（x）=0至少有两个不同的实数根x₁，x₂，不妨假设x₁＜x₂，
由方程的定义可知：f（x₁）=0，f（x₂）=0
即f（x₁）=f（x₂）
由已知x₁＜x₂时，有f（x₁）＜f（x₂）这与式①矛盾
因此假设不能成立
故原命题成立．
注：反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．
点评：反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．