Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C的各条棱长都为a，P为A₁B上的点，且PC⊥AB
（1）求二面角P-AC-B的正切值；
（2）求点B到平面PAC的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）过P点作PM⊥AB于M，由正三棱柱性质知PM⊥平面ABC，过M作MN⊥AC于N，连接PN，则PN⊥AC，从而∠PNM为二面角P-AC-B的平面角，在Rt△PMN中，可求二面角P-AC-B的正切值．
（Ⅱ）根据M是AB中点，可知B到平面PAC距离等于M到平面PAC距离的2倍，过M作MQ⊥PN于Q，则MQ⊥平面PAC，可求M到平面PAC距离，从而可求点B到平面PAC距离．

解答：解：（Ⅰ）过P点作PM⊥AB于M，由正三棱柱性质知PM⊥平面ABC，
连接MC，则MC为PC在平面ABC上的射影．
∵PC⊥AB，∴MC⊥AB，∴M为AB中点，
又PM∥AA₁，所以P为A₁B的中点．
过M作MN⊥AC于N，连接PN，则PN⊥AC，∴∠PNM为二面角P-AC-B的平面角
在Rt△PMN中，由|PM|=

a

2

，|MN|=

3

4

a，得tan∠PNM=

|PM|

|MN|

=

2 3

3

．
所以二面角P-AC-B的正切值为

2 3

3

…（6分）
（Ⅱ）∵M是AB中点，∴B到平面PAC距离等于M到平面PAC距离的2倍，
又由（I）知AC⊥平面PMN，∴平面PMN⊥平面PAC，
过M作MQ⊥PN于Q，则MQ⊥平面PAC，|MQ|=

|PM|•|MN|

|PM|2+|MN|2

=

a 2 × 3 4 a

a2 4 + 3 16 a2

=

21

14

a．
故所求点B到平面PAC距离为

21

7

a…（12分）

点评：本题以正三棱柱为载体，考查面面角，考查点到面的距离，关键是作出面面角，寻找表示点面距离的线段．